• Zanimljiva priroda
  • 30.10.2016. 16:30

Fibonaccijev niz u šumi

Pomnim promatranjem ljudi su uočili niz geometrijskih uzoraka na biljkama i životinjama. Te su uzorke kasnije lukavo koristili u arhitekturi i likovnoj umjetnosti jer su shvatili da su oku najugodniji.

Foto: bigstockphoto.com Yastremska
  • 2.051
  • 126
  • 0

Ljudi vole boraviti u prirodi jer im vraća energiju i jer pojave u prirodi doživljavaju kao lijepe. Jedan od razloga leži u ljepoti geometrije koju priroda koristi da bi ostvarila optimalne uvjete za rast, pridobivanje hranjiva i dr.

Grane i lišće na stablima samo naoko djeluju kao da rastu prema nasumičnom rasporedu. Pomnim promatranjem ljudi su uočili niz geometrijskih uzoraka na biljkama i životinjama. Te su uzorke kasnije lukavo koristili u arhitekturi i likovnoj umjetnosti jer su shvatili da su oku najugodniji.

Priroda naveliko koristi geometriju

Jedan od primjera geometrije u šumi predstavlja čitavo stablo. Promatranjem stabala ljudi su uočili da se ono grana prema sasvim određenom rasporedu. Kako bi to dokazali, točku na kojoj stablo počinje svoj rast iz tla označili su nulom.

Sljedeće dvije vrijednosti označene su dvjema jedinicama, a označavaju dužinu od tla do prvog račvanja grana. Put, odnosno dužina od prvog račvanja na lijevu i desnu granu pa do sljedećeg račvanja označena je brojem 2. Ta dužina predstavlja polovinu dužine označene dvjema jedinicama. Svako sljedeće račvanje predstavlja takvu polovinu dužine.

Kod drugog račvanja imamo prisutne tri grane gdje je jedna nastavila s rastom, a kod druge je došlo do račvanja na dvije. Kod trećeg račvanja prisutno je pet grana, kod četvrtog osam, petog 13, šestog 21, itd.

Božanski ili zlatni omjer

Kao primjer takvog račvanja u prirodi često se navodi zeljasta biljka Achillea ptarmica, rođakinja stolisnika na kojoj je uočen upravo ovaj niz brojeva. U njezinom se slučaju račvanje zaustavlja na broju 13. To znači da se stabljike pri vrhu račvaju na 13 malenih stabljika od kojih svaka nosi cvjetnu glavicu pa ova vrsta ima 13 cvjetnih glavica. Ti su brojevi: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, itd. nazvani Fibonaccijev niz jer je pojavu uočio talijanski matematičar Leonardo od Pise poznatiji kao Fibonacci.

Otkrio ju je, ne proučavajući bilje, već idealan model razmnožavanja zečeva kroz jednu godinu. Model je zapravo otkriven još davno prije, u antičko doba i o tome svjedoče brojni dokazi, ali se u svijetu uvriježio pojam Fibonaccijev niz ili Fibonaccijevi brojevi.

Vrlo je zanimljivo da zbroj susjednih brojeva Fibonaccijevog niza uvijek daje sljedeći broj, dakle 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, itd. Zanimljivo je i da svaki broj u nizu kada se podijeli sa sljedećim, susjednim brojem, daje približnu vrijednost broja 1,618, odnosno broja fi. Taj se broj također povezuje s Fibonaccijem, a poznat je i pod nazivima Božanski omjer i zlatni omjer. Što su susjedne znamenke iz niza veće, vrijednost njihovog količnika bit će bliža broju fi. Vremenom je otkriveno da su broju fi bliski odnosi mjera kod ljudi, životinja i biljaka.

Optimalno iskorišten prostor

Matematičari su primijetili da je progresivni Fibonaccijev niz primjenjiv u geometriji. Koristeći ovaj niz za crtanje kvadrata koji su smješteni jedni do drugih i gdje je svaki novonacrtani veći od prethodnog dobili su pravokutnik u koji je zatim bilo moguće ucrtati spiralu. Ta je spirala, nazvana također u čast Fibonaccija uočena na bezbrojnim pojavama u prirodi. Da bi smo ugledali kako su ljuske na borovom češeru jedna iznad druge poredane tako da čine čitavu Fibonnacijevu spiralu morali bi ga okrenuti na način da istodobno vidimo dio veći donje strane i profil.

Promatra li se samo donja strana češera, uočit će se dva niza spirala u kojima su ljuske to veće što su dalje od središta. Osam spirala zakreće se u smjeru kazaljke na satu, a 13 u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Uočeno je da osam i 13 predstavljaju susjedne brojeve iz Fibonaccijevog niza, a ako se osam podijeli s 13, dobiva se vrijednost približna broju fi (0,165).

U šumi ćemo takve spirale pronaći i promatranjem cvjetnih glavica kod zeljanica iz porodice glavočika (Asteraceae). Najraširenije objašnjenje te pojave je optimalno iskorišten prostor kod kojega je onemogućeno nagomilavanje sjemenki koje se razvijaju od centra prema rubu.

Filotaksija - što je to?

Ovi se primjeri odnose na potpuno razvijene zrele organe kakve desetljećima proučavaju matematičari, fizičari, mehaničari i stručnjaci biokemije kroz studij statičkih modela filotaksije. Studij filotaksije odnosi se na proučavanje uzoraka uočenih kod biljnih organa.

Fibonaccijeva ili zlatna spirala primijećena je i na vršnim dijelovima biljaka u stadiju razvoja, kao što su lisni pupovi paprati ili cvjetni pupovi gaveza. Takve uzorke koji podrazumijevaju promjene kroz prostor i vrijeme proučava studij dinamičke filotaksije. Tako se nove ljuske borovog ili smrekovog češera razvijaju na mjestima gdje je gomilanje najmanje, što je vidljivo na njihovoj donjoj strani, a pojava je definirana kao Hofmeisterovo pravilo.

Prirodnjaci iz doba antike Teofrast i Plinije shvatili su da određene vrste bilja imaju određen raspored lišća na stabljikama i predlagali da to bude jedan od ključeva za determinaciju. Studij rasporeda lišća na biljkama definira filotaksiju u užem smislu, a naziv je 1754. godine uveo švicarski prirodnjak Charles Bonnet.

Najčešći tip rasporeda listova

Baveći se granama sa spiralno postavljenim lišćem na grani, dva su znanstvenika u prvoj polovini 19. st. uočila da kut između svaka dva susjedna lista u većini slučajeva iznosi oko 137,5 stupnja s jedne strane, odnosno 222,5 stupnja s druge strane. Kada se ove vrijednosti zbroje dobiva se puni krug od 360º, a kada se veća vrijednost od 222,5º podijeli s manjom 137,5º dobije se vrijednost od 1,618, točnije broj fi. Taj broj, kao što možemo uočiti priroda koristi za izgradnju bezbrojnih struktura.

Ciklička filotaksija najčešći je tip rasporeda listova u prirodi. Pretpostavlja pogled na biljku iz ptičje perspektive, i kao što joj naziv upućuje kod nje je lišće smješteno u krug oko stabljike. Tu je uočeno da je svaki list od susjednog odmaknut pod određenim kutom s time da su kutovi između prvog i drugog, drugog i trećeg lista i tako redom, jednakih vrijednosti. Kutovi između listova kod biljke koja ima samo dva lista vrijednosti su 180º, kod biljke s tri lista razmaci su vrijednosti 120º, s četiri 90º, s pet 72º, itd. Ti razmaci između susjednih listova, odnosno kutovi divergencije, dobivaju se dijeljenjem vrijednosti punoga kruga od 360º s ukupnim brojem listova u krugu.

Različiti oblici filotaksije

Kod drveća s naizmjenično postavljenim lišćem mogu se uočiti dva vertikalna niza listova. Treći list se nalazi točno iznad prvog, peti se list nalazi iznad trećeg, točnije iznad prvog i trećeg, a na suprotnoj strani, tj. u drugom nizu, se četvrti nalazi iznad drugog, iznad njih je šesti i tako redom. Kut divergencije između dvaju susjednih listova je 180º, odnosno pola kruga, a da bi prešli put od prvog do trećeg lista treba nam jedan cijeli krug. Od prvog lista do sljedećeg koji je točno iznad njega izbrojit ćemo točno dva lista te se slučaj označava kao filotaksija 1/2. To je uočeno kod breze, brijesta, lipe i dr.

Kod filotaksije 1/3 sa spiralnim rasporedom lišća imamo tri lista u jednom krugu i u tom slučaju ujedno imamo tri vertikalna niza listova. U prvom vertikalnom nizu četvrti je list točno iznad prvog, točno iznad njih je sedmi, u drugom redu je peti iznad drugog, a u trećem šesti iznad trećeg, itd. Kut divergencije između listova u ovom slučaju iznosi 120º. Takav je raspored uočen na bukvi i lijesci.

U slučaju filotaksije 2/5 određeno je da se u istom položaju, tj. točno jedan iznad drugoga nalaze prvi, šesti, jedanaesti list i tako redom, odnosno da je točno iznad drugog je sedmi, zatim slijedi dvanaesti, itd. Od lista koji smo odredili kao početni pa do lista koji se nalazi točno iznad njega, u istom položaju proći put od dva puna kruga. U odnosu na odabrani list, onaj koji je točno iznad njega je uvijek peti u nizu. Takav je slučaj primijećen kod hrasta, trešnje, oraha i dr.

Prođemo li tri kruga oko grane i pri tome iznad odabranog lista izbrojimo još osam listova odredili smo filotaksiju 3/8 kakva je primijećena kod božikovine. Filotaksija 5/13 primijećena je kod vrba i topola. Svi navedeni razlomci 1/2, 1/3, 2/5, 3/8 i 5/13 sadrže brojeve koje pronalazimo u Fibonaccijevom nizu.

Rijetke iznimke

Najčešće tumačenje ovakvih rasporeda je da ostavljajući prazne prostore među lišćem, biljka osigurava svakom listu najveću moguću količinu svjetla pa time i hranjiva kao i kišnice koja se spušta dalje prema korijenju.

Fibonaccijevi brojevi pronađeni su brojenjem latica raznih biljnih vrsta. Primjeri su ljiljani koji imaju po tri latice, ljubičice pet, kokotić osam, žablja trava 13, vodopija 21, razne glavočike po 34, 55 ili 89. Od oko 26.000 glavočika većina nosi Fibonaccijev broj latica. Cvjetovi koji nose četiri latice, odnosno ne uklapaju se u Fibonaccijev niz, daleko su rjeđi u prirodi.

Danas su istraživači u mogućnosti izrađivati kompjuterski generirane modele biljnih organa što će zasigurno rezultirati novim otkrićima ovakvih zakonitosti u prirodi i razumijevanju istih.

Važno je napomenuti da u su prirodi isto tako otkrivena brojna odstupanja od Fibonaccijevog, a to govori da priroda nije posve savršena, već teži savršenstvu.

Autor: Marija Glavaš, Foto: bigstockphoto.com Yastremska


Izvori

Časopis HŠ


Tagovi

Zanimljiva priroda. Fibonacci Geometrija


Autorica

Ivana Nađ

Ivana je urednica na Agroklub portalu. "Vaša uvjerenja ne čine vas boljom osobom. Djelovanje čini."

Izdvojeni tekstovi

Izdvojeni oglasi